Question

我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．
如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．
（1）如图，若B₁B=30米，∠B₁=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，

3

≈1.73）
（2）如图2，若∠ABC=30°，B₁B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；
（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式

a+b c

，则无需化简）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用,勾股定理

专题：几何图形问题,压轴题,转化思想

分析：（1）在Rt△ABC和Rt△AB₁C中，利用三角函数，用AC分别表示出BC和B₁C，根据B₁B=B₁C-BC，列方程求得AC的长；
（2）设B₁B=AB=x，在Rt△ABC中，利用三角函数用x表示出AC和BC的长，则B₁C即可求得，根据正切的定义即可求解；
（3）按照（1）（2）的规律，画出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答图3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性质及正切的定义，求出tan7.5°的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

，
则BC=

AC

tan30°

=

3

AC，
同理，B₁C=

AC

tan22°

，
∵B₁B=B₁C-BC，
∴

AC

0.40

-

3

AC=30，
解得：AC≈39（米）；

（2）∵B₁B=AB，
∴∠B₁=∠B₁AB=

1

2

∠ABC=15°，
设B₁B=AB=x，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

x，BC=

3

2

x，
∴B₁C=x+

3

2

x，
∴tan15°=

AC

B1C

=

1 2 x

x+ 3 2 x

=

1

2+ 3

=2-

3

；

（3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．
设AC=a，则AB=2a，BC=

AC

tan30°

=

3

a．
∴B₁B=AB=2a，
∴B₁C=2a+

3

a=（2+

3

）a．
在Rt△AB₁C中，由勾股定理得：AB₁=

B1C2+AC2

=

(2+ 3 )2a2+a2

=2

2+ 3

a，
∴B₂B₁=AB₁=2

2+ 3

a，
∴B₂C=B₂B₁+B₁C=2

2+ 3

a+（2+

3

）a
∴tan7.5°=tan∠AB₂C=

AC

B2C

=

a

2 2+ 3 a+(2+ 3 )a

∴tan7.5°=

1

2 2+ 3 +2+ 3

．

点评：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．