Question

如图，AB为⊙O的直径，D是BC延长线上的一点，OC的延长线交AD延长线于E点且DE=2，AD=4，EC=2

3

，
（1）试判断AE和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求∠E的度数．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据相似三角形的判定推出△ECD∽△EAC，推出∠ECD=∠EAC，求出∠B=∠DAC，推出∠BAD=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠CAD=30°，推出∠B=∠CAD=∠BCO=∠ECD=30°，求出∠DCA=90°，根据三角形内角和定理求出即可．

解答：解：（1）AE和⊙O相切，
理由是：∵DE=2．，AD=4，EC=2

3

，
∴AE=DE+AD=6，

DE

EC

=

2

2 3

=

3

3

，

EC

EA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴

DE

EC

=

EC

EA

，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAC，
∴∠ECD=∠EAC，
AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BCO=∠ECD=∠EAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
∴EA⊥OA，OA半径，
∴AE和⊙O相切；                    

（2）由（1）得：△ECD∽△EAC，
∴

CD

AC

=

EC

EA

=

3

3

，
∵∠ACD=180°-∠ACB=90°，
∴tan∠DAC=

CD

AC

=

3

3

，
∴∠DAC=30°
∴∠ECD=∠DAC═30°
∴∠E=180°-∠DAC-∠ECD-∠ACD=30°．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点的应用，题目比较好，综合性比较强．