Question

已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.

（1） 如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.

①∠DAO的度数是              ；

②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；

（2） 设∠AOB=α，∠BOC=β.

①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.

           

Answer 1

解：（1）①90°.  

            ②线段OA，OB，OC之间的数量关系是. 

如图1，连接OD.

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.

∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB.

∴△OCD是等边三角形.

∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.

∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，

∴∠AOC=90°.

∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.

∴∠DAO=90°.

在Rt△ADO中，∠DAO=90°，

∴.

              ∴.    

       （2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值.

              作图如图2的实线部分.  

如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接OO’.

∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.

∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC,

∠A’O’C =∠AOC.

∴△OC O’是等边三角形.

∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.

∵∠AOB=∠BOC=120°，

∴∠AOC =∠A’O’C=120°.

∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.

∴四点B，O，O’，A’共线.

∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小.   

         ②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=.