Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为△ABC内一点，AD=1，而DC、DB的长是关于x的方程x²-kx+6=0的两个实数根x₁，x₂（DC＜DB）并且

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

．
（1）作出△ACD绕点C顺时针旋转90°后所得△BCE；
（2）求k的值，并连接DE并说明△DCE的形状；
（3）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析：（1）点A旋转到B的位置，过C作CE⊥CD，CE在CD的右侧，且CE=CD．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，用k表示出两根和、两根积，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

可以变形为

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

13

36

，把方程的两根的和与积代入即可得到关于k的方程，即可求出k的值．根据旋转的性质即可求得△DCE的形状；
（3）由于△DCE是等腰直角三角形，所以∠CDE=45°，所以∠ADC=135°．

解答：解：（1）旋转后的图形如图示．

（2）根据根与系数的关系：x₁+x₂=k，x₁•x₂=6，
则由于

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

13

36

，
∴

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

13

36

，
∴

k2-12

36

=

13

36

，
解得：k=±5，
∵DC、DB的长是关于x的方程x²-kx+6=0的两个实数根x₁，x₂
而DC、DB是三角形的边长，为正值，
∴x₁+x₂=k＞0，
∴k=5．
∵∠ACD=∠BCE，
而∠ACD+∠DCB=90°，
又∵DC=EC，
∴△DCE是等腰直角三角形．

（3）∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠ADC=135°．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系把求未知系数的问题转化为解方程的问题，并且本题考查了旋转的性质，以及作图，关键是确定旋转角．