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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
    （1）若BK=
    5
    2
    KC，求
    CD
    AB
    的值；
    （2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
    1
    2
    AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=
    1
    n
    AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
    分析：（1）由已知得
    CK
    BK
    =
    2
    5
    ，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用
    CD
    AB
    =
    CK
    BK
    求值；
    （2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=
    1
    2
    BC，而GF=
    1
    2
    CD，EF=
    1
    2
    AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
    当AE=
    1
    n
    AD（n＞2）时，EG=BG=
    1
    n
    BC，而GF=
    1
    n
    CD，EF=
    n-1
    n
    AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
    解答：精英家教网解：（1）∵BK=
    5
    2
    KC，
    ∴
    CK
    BK
    =
    2
    5
    ，
    又∵CD∥AB，
    ∴△KCD∽△KBA，
    ∴
    CD
    AB
    =
    CK
    BK
    =
    2
    5


    （2）当BE平分∠ABC，AE=
    1
    2
    AD时，AB=BC+CD；
    证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
    由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
    ∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
    又∵∠EBA=∠GBE，
    ∴∠GEB=∠GBE，
    ∴EG=BG=
    1
    2
    BC，而GF=
    1
    2
    CD，EF=
    1
    2
    AB，
    ∵EF=EG+GF，
    即：
    1
    2
    AB=
    1
    2
    BC+
    1
    2
    CD；
    ∴AB=BC+CD；
    同理，当AE=
    1
    n
    AD（n＞2）时，EF∥AB，
    同理可得：
    BG
    BC
    =
    AE
    AD
    =
    1
    n
    ，则BG=
    1
    n
    •BC，则EG=BG=
    1
    n
    •BC，
    GF
    CD
    =
    BG
    BC
    =
    1
    n
    ，则GF=
    1
    n
    •CD，
    EF
    AB
    =
    ED
    AD
    =
    n-1
    n
    ，
    ∴
    1
    n
    •BC    +
    1
    n
    •CD=
    n-1
    n
    •AB，
    ∴BC+CD=（n-1）AB，
    故当AE=
    1
    n
    AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．
    点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．
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    （2）设线段AB长为x，则BC=
     
    ；AD=
     
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