Question

9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x-y|），则称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；
（2）如果点P在函数y=x-1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据“关联点”的定义结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据点P在函数y=x-1的图象上，即可得出P（x，x-1）、Q（x，1），再根据点P、Q重合即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据“关联点”的定义找出点N的坐标，分m≥n和m＜n两种情况考虑，根据点N在函数y=x²的图象上，即可用含m的代数式表示出n，再根据两点间的距离公式即可找出MN的关系式，利用一次（二次）函数的性质即可求出线段MN的最大值．

解答 解：（1）∵|2-2|=0，
∴点（2，2）的“关联点”的坐标为（2，0）．
（2）∵点P在函数y=x-1的图象上，
∴P（x，x-1），则点Q的坐标为（x，1），
∵点Q与点P重合，
∴x-1=1，解得：x=2，
∴点P的坐标为（2，1）．
（3）∵点M（m，n），
∴点N（m，|m-n|）．
∵点N在函数y=x²的图象上，
∴|m-n|=m²．
（i）当m≥n时，m-n=m²，
∴n=-m²+m，
∴M（m，-m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|-m²+m-m²|=m|2m-1|．
①当0≤m≤$\frac{1}{2}$时，MN=-2m²+m=-2$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
∴当m=$\frac{1}{4}$时，MN取最大值，最大值为$\frac{1}{8}$．
②当$\frac{1}{2}$＜m≤2时，MN=2m²-m=2$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
当m=2时，MN取最大值，最大值为6．
（ii）当m＜n时，n-m=m²，
∴n=m²+m，
∴M（m，m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|m²+m-m²|=m，
当m=2时，MN取最大值2．

点评 本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据“关联点”的定义找出点的关联点；（2）根据点P、Q重合找出关于x的一元一次方程；（3）用含m的代数式表示出n．