Question

已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作∠B的平分线BM，交AC于点M；作AB的中点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接MN，求证：△AMN≌△BMN．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,全等三角形的判定

专题：

分析：（1）作出∠B的平分线BM，交AC于点M；作AB的中点N，
（2）连接MN，由角的关系求出MN垂直平分AB，求出MN=MC，AM=BM，再证得RT△ANM和RT△BCM得出结论△AMN≌△BMN．

解答：解：（1）如图，

（2）证明：如图，连接MN，

∵BM是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°，
∴∠NBM=∠MBC=30°，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠MBC，AM=BM
∵N为AB中点，
∴AN=BN，
∴∠ANM=∠BNM=90°
∵∠C=90°，
∴MN=MC，
在RT△ANM和RT△BCM中，

MN=MC AM=BM

∴RT△ANM和RT△BCM（HL）
∴△AMN≌△BMN．

点评：本题主要考查了复杂作图及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是利用角平分线及中线的性质求出角与边的关系．