Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD+BC=CD．
（1）如图1，以CD为直径作⊙O，求证：AB与⊙O相切；
（2）如图2，以AB为直径作⊙O′，求证：CD与⊙O′相切．

Answer 1

证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
即DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥OE∥BC，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=（AD+BC），
∵AD+BC=CD，
∴OC=OD=CD=（AD+BC），
∴OC=OD=OE，
∴AB与⊙O相切；

（2）过点O′作O′F⊥CD于点F，过点O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位线，
∴O′M=（AD+BC）=CD=DM，
∴∠O′DM=∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，
∵在△AO′D和△FO′D中，
，
∴△AO′D≌△FO′D（AAS），
∴O′F=O′A=AB，
即CD与⊙O′相切．
分析：（1）首先过点O作OE⊥AB于点E，易得OE是梯形ABCD的中位线，又由AD+BC=CD，即可得OC=OD=OE，则可判定AB与⊙O相切；
（2）首先过点O′作O′F⊥CD于点F，过点O′作O′M∥AD，易证得△AO′D≌△FO′D（AAS），即可得O′F=O′A=AB，则可判定CD与⊙O′相切．
点评：此题考查了切线的判定、梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．