Question

如图：AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，切点为点D，连接OD，点C是⊙O上一点，且PC=PD．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，CB=BP，PD=2

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由于OC=OD，PD=PC，OP=OP，利用SSS可证△OCP≌△CDP，那么∠OCP=∠ODP，而DP是切线，易求∠OCP=90°，从而有PC是⊙O切线；
（2）由于PC是切线，那么∠BCP=

1

2

∠BOC，∠OCP=90°，而BC=BP，易证∠CPB=

1

2

∠COP，从而可求∠COP=60°，∠CPB=30°，而PC=PD=2

3

，利用特殊三角函数值可求OC．

解答：解：如右图所示，
（1）连接OC，
∵OC=OD，PD=PC，OP=OP，
∴△OCP≌△CDP，
∴∠OCP=∠ODP，
又∵DP是切线，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
即PC是⊙O切线；

（2）∵PC是切线，
∴∠BCP=

1

2

∠BOC，∠OCP=90°，
又∵BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠CPB=

1

2

∠COP，
∵∠COP+∠OPC=90°，
∴∠COP=60°，∠CPB=30°，
∵PC=PD=2

3

，
∴OC=tan30°•PC=

3

3

×2

3

=2．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、切线的判定与性质、勾股定理、弦切角定理、特殊三角函数值．解题的关键是连接OC，构造直角三角形，并求出∠COP=60°，∠CPB=30°．