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【题目】如图,菱形ABCD内两点M、N,满足MB⊥BC,MD⊥DC,NB⊥BA,ND⊥DA,若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ,则cosA=

【答案】
【解析】解:如图,连接AN、CM,延长BM交AD于H.
∵AB⊥BN,AD⊥DN,
∴∠ABN=∠ADN=90°,
在Rt△ANB和Rt△AND中,

∴△ABN≌△ADN,
∴∠BAN=∠DAN,
∴AN是菱形ABCD的角平分线,同理CM也是菱形ABCD的角平分线,设BD与AC交于点O,
易知四边形BMDN是菱形,设SOMB=SONB=SOMD=SOND=a,
∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的
∴SAMB=SAMD=SCNB=SCND=4a,
∴AM=4OM,CN=4ON,设ON=OM=k,则AM=CN=4k,
∵△ABO∽△BNO,
∴OB2=OAON=5k2
∴OB= k,AB=AD= = k,
ADBH= BDAO,
∴BH= =
∴AH= = = k,
∴cosA= = =
故答案为
如图,连接AN、CM,延长BM交AD于H.AN是菱形ABCD的角平分线,同理CM也是菱形ABCD的角平分线,设BD与AC交于点O,
易知四边形BMDN是菱形,设SOMB=SONB=SOMD=SOND=a,因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ,所以SAMB=SAMD=SCNB=SCND=4a,推出AM=4OM,CN=4ON,设ON=OM=k,则AM=CN=4k,由△ABO∽△BNO,推出OB2=OAON=5k2 , 推出OB= k,AB=AD= = k,由 ADBH= BDAO,推出BH= = ,再利用勾股定理求出AH即可解决问题.

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