【题目】如图,菱形ABCD内两点M、N,满足MB⊥BC,MD⊥DC,NB⊥BA,ND⊥DA,若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ,则cosA= .
【答案】
【解析】解:如图,连接AN、CM,延长BM交AD于H.
∵AB⊥BN,AD⊥DN,
∴∠ABN=∠ADN=90°,
在Rt△ANB和Rt△AND中,
,
∴△ABN≌△ADN,
∴∠BAN=∠DAN,
∴AN是菱形ABCD的角平分线,同理CM也是菱形ABCD的角平分线,设BD与AC交于点O,
易知四边形BMDN是菱形,设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a,
∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ,
∴S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a,
∴AM=4OM,CN=4ON,设ON=OM=k,则AM=CN=4k,
∵△ABO∽△BNO,
∴OB2=OAON=5k2 ,
∴OB= k,AB=AD= = k,
∵ ADBH= BDAO,
∴BH= = ,
∴AH= = = k,
∴cosA= = = .
故答案为
如图,连接AN、CM,延长BM交AD于H.AN是菱形ABCD的角平分线,同理CM也是菱形ABCD的角平分线,设BD与AC交于点O,
易知四边形BMDN是菱形,设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a,因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ,所以S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a,推出AM=4OM,CN=4ON,设ON=OM=k,则AM=CN=4k,由△ABO∽△BNO,推出OB2=OAON=5k2 , 推出OB= k,AB=AD= = k,由 ADBH= BDAO,推出BH= = ,再利用勾股定理求出AH即可解决问题.
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【题目】如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,做CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为cm.
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【题目】如图,△ABC中,CD⊥AB于点D,⊙D经过点B,与BC交于点E,与AB交与点F.已知tanA= ,cot∠ABC= ,AD=8.
(1)⊙D的半径;
(2)CE的长.
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【题目】如图,点M是△ABC的角平分线AT的中点,点D、E分别在AB、AC边上,线段DE过点M,且∠ADE=∠C,那么△ADE和△ABC的面积比是 .
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是射线CB上的动点,点F是射线CD上一点,且AF⊥AE,射线EF与对角线BD交于点G,与射线AD交于点M;
(1)当点E在线段BC上时,求证:△AEF∽△ABD;
(2)在(1)的条件下,联结AG,设BE=x,tan∠MAG=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)当△AGM与△ADF相似时,求BE的长.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,对称轴平行于y轴的抛物线过点A(1,0)、B(3,0)和C(4,6);
(1)求抛物线的表达式;
(2)现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位,再沿y轴方向平移k个单位,若所得抛物线与x轴交于点D、E(点D在点E的左边),且使△ACD∽△AEC(顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C),试求k的值,并注明方向.
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【题目】为了加快我省城乡公路建设,我省计划“十三五”期间高速公路运营里程达1000公里,进一步打造城乡快速连接通道,某地计划修建一条高速公路,需在小山东西两侧A,B之间开通一条隧道,工程技术人员乘坐热气球对小山两侧A、B之间的距离进行了测量,他们从A处乘坐热气球出发,由于受西风的影响,热气球以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为多少米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx-3(a≠0)与x轴交于点
A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点M,使 : =5:2,求M点坐标。
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