Question

5、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．

Answer 1

分析：连接AD，由题意可判断出四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点可得出AD=BC，∠1=∠2=45°=∠3，再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，进而可得出结论．

解答：证明：连接AD（如图），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形，
∴AE=FP，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=DC，∠1=∠2=45°=∠3，
∴∠EAD=∠FCD=135°，∠CPF=45°=∠3，
∴CF=PF=AE，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴DE=DF．

点评：本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．