Question

如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE=BE．
（1）求证：

AB

=

AF

；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）要证

AB

=

AF

就要利用相等的圆周角所对的弧相等来证明，所以连接BH，根据垂径定理可知弧AB=弧BH．因为AE=BE，利用等腰三角形的性质及等量代换就可证明：

AB

=

AF

；
（2）已知BE•EF=32，AD=6，所以可根据相交弦定理求出AE，EH的长，然后再由已知AE=BE求出BE的长，利用勾股定理即可求出BD的长．

解答：（1）证明：连接BH，
根据垂径定理可知弧AB=弧BH，
∴∠BAH=∠BHA．
∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF．
∴∠BHA=∠ABF．
∴

AB

=

AF

．

（2）解：∵BE•EF=32，
∴AE•EH=32．
∵AD=6，
∴AH=12．
∴AE•（12-AE）=32．
解得AE=4或8，
从图中可知AE=4，DE=2
∵AE=BE，
∴BE=4．
∴BD=

42-22

=2

3

．

点评：本题综合考查了圆的垂径定理及等弧所对和圆周角相等的性质及相交弦勾股定理的应用．