Question

24、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BD于F，交BC于E．
（1）证明：∠ABD=∠DAF；
（2）试判断∠ADB与∠CDE的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC为直角，得到其他两锐角互余，又根据AE与BD垂直，得到三角形ADF为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证；
（2）两角相等，理由是：连接DE，过A作AP垂直于BC，交BD于Q，根据“三线合一”得到AP为直角的平分线，故∠BAP与∠CAP都为45°，而三角形ABC为等腰直角三角形，故∠C也为45°，由（1）得到的两角相等，AB=AC，以及∠BAP=∠C都为45°，利用“ASA”得到三角形ABQ与三角形CAE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AQ=CE，然后由D为AC中点，得到AD=CD，又∠CAP=∠C=45°，根据“SAS”得到三角形ADQ与三角形CDE全等，根据全等三角形对应角相等即可得证．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ADF=90°，
又AE⊥BD，∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠DAF；
（2）∠ADB与∠CDE相等，理由如下：

证明：连接DE，过A作AP⊥BC，交BD于Q，交BC于P，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，又AP⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP=45°，即∠BAP=∠C，
由（1）可知：∠ABD=∠DAF，
∴△ABQ≌△CAE，
∴AQ=CE，
又D为AC中点，∴AD=CD，
∵∠CAP=∠C=45°，
∴△ADQ≌△CDE，
∴∠ADB=∠CDE．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．对条件充分认识和对知识点的系统利用，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．