Question

如图（1），（2），牧童在点A处放牛，其家住在点B处，点A、B到河岸CD的距离分别为AC和BD．
（1）若AC=BD，请在河边找一点O使他把牛牵到河边O处饮水再回家的路程最短．已知点A到CD中点的距离为500米，
①用我们所学知识作图找出O点，请问O是否是CD的中点？请说明理由．
②求牧童从A处把牛牵到河边O处饮水，再回家的最短路程路程．
（2）当AC≠BD时若AC=400米，BD=500米，则牧童在河岸CD的何处牵牛饮水，才能使牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家的路程最短？请画出图形，并把此点记为O．若已知S_△AOC=80000平方米，S_△BOD=125000平方米，请求出CO和DO的距离．

Answer 1

解：（1）①作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于O，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
易得△A′CO≌△BDO，
AC=BD，所以A′C=BD，则=，
所以CO=DO，O为CD的中点；

②由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=1000米．
故最短距离是1000米．

（2）∵AC=400米，BD=500米，
∴S_△AOC=CO×AC=×400×CO=80000（平方米），
解得：CO=400（m），
S_△BOD=×BD×DO=×500×DO=125000平方米，
解得：DO=500（m），
则CO和DO的距离分别为：400m，500m．
分析：（1）根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据相似三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值；
（2）利用三角形面积求法求出CO，DO的长即可．
点评：此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，解答时要注意应用全等三角形的性质．