Question

18．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形        ②△AED≌△GED         ③∠DFG=112.5°        
  ④BC+FG=1.5，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①②
• D． ②

Answer 1

分析 首先证明RT△ADE≌RT△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{DA=DG}\end{array}\right.$，
∴RT△AED≌RT△GED，故②正确；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，
在△AEF与△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{EF=EF}\\{AF=GF}\end{array}\right.$，
△AEF≌△GEF，
∴EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确；
∵AE=FG=EG=BG，BE=$\sqrt{2}$AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．