Question

15、已知△ABC是锐角三角形．
（1）求证：2sinA＞cosB+cosC；
（2）若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？

Answer 1

分析：（1）作出△ABC的高，根据正弦函数的增减性得到∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，再根据互余关系得到sin∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠B，即可得到结论；
（2）根据垂线段最短作出AC边上的高，再作出△ABM和△CBM的外接圆即可．

解答：解：（1）如图：作AD⊥BC．
因为△ABC是锐角三角形，
所以∠BAC、∠B、∠C为锐角，
又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC，
所以∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，
所以sin∠BAC＞sin∠BAD①，
sin∠BAC＞sin∠CAD②，
①+②得，2sin∠BAC＞sin∠BAD+sin∠CAD，
又因为sin∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠B，
所以2sin∠BAC＞cos∠B+cos∠C．

（2）如图，当BM⊥AC时，BM最短．
则弓形BmM和弓形BnM所对弦BM最短，
则两弓形面积最小，两外接圆的公共部分面积最小．

点评：（1）此题考查了三角函数的增减性和三角形的互余关系，作出图形，判断出各角的大小关系是解题的关键．
（2）解答此题的关键是作出AC边上的高，找到△ABM和△CBM的外接圆的公共部分．