Question

5．如图，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍船只停在C处海域，AB=60（$\sqrt{3}$+1）海里，在B处测得C在北偏东45°反向上，A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=100海里．
（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）．
（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监穿沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（$\sqrt{3}$+1）里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．

解答 解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
设CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB=60（$\sqrt{3}$+1）海里，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=60（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=60$\sqrt{3}$，
则AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=120，
BC=$\sqrt{2}$x=60$\sqrt{6}$，
答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为60$\sqrt{6}$海里；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
在△ADF中，
∵AD=100，∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=50$\sqrt{3}$≈86.6＜100，
故海监船沿AC前往C处盘查，有触礁的危险．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．