Question

已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有有理根，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析：由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，则△≥0，并且△为完全平方数．而△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，整数m满足6＜m＜20，通过分析可得4m+1只能为49，这样求的m的值，然后代入方程，最后解方程即可．

解答：解：根据题意得，m≠0，若方程有有理根，则△为完全平方数．
∵△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，
又∵整数m满足6＜m＜20，
∴4m+1=49，即m=12．
则原方程变为：12x²-23x+10=0，
∴x=

23± 49

2×12

=

23±7

24

，
∴x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．
故m=12，此时方程的解为x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根为有理根的条件判别式为完全平方数．