Question

8．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．
（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；
（2）求BC′的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BB′，根据旋转的性质得AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=$\sqrt{2}$，则可判断△ABB′是等边三角形，所以AB=BB′，而C′B′=C′A′，于是可判断BC′垂直平分AB′；
（2）延长BC′交AB′于D，如图，在Rt△AC′B′中，利用等腰直角三角形斜边上的中线性质得C′D=$\frac{1}{2}$AB=1，再根据等边三角形的性质得BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB′=$\sqrt{3}$，然后计算BD-C′D即可．

解答 解：（1）BC′垂直平分AB′．理由如下：
如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=$\sqrt{2}$，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
而C′B′=C′A′，
∴BC′垂直平分AB′；
（2）延长BC′交AB′于D，如图，
在Rt△AC′B′中，AB′=$\sqrt{2}$AC′=2，
∵BC′垂直平分AB′，
∴C′D=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵BD为等边三角形△ABB′的高，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB′=$\sqrt{3}$，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理．