Question

如图，在ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE²=BF•AE；
③若DF=3

5

，cosA=

2

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质得AD=CD，即D点为AC的中点，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，而DE⊥AB，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得BD平分∠ABC，则利用角平分线性质得DE=DF，再证明Rt△AED∽Rt△DFB，根据相似的性质得DE：BF=AE：DF，用DE代换DF根据比例的性质即可得到DE²=BF•AE；
（3）由于∠A=∠C，则cosA=cosC=

2

3

，在Rt△CDF中，利用余弦的定义得cosC=

CF

DC

=

2

3

，设CF=2x，则DC=3x，根据勾股定理计算得DF=

5

x，所以

5

x=3

5

，解得x=3，于是得到DC=9，在Rt△CBD中根据余弦的定义可计算出BC．

解答：（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠BDO=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
而OB=OD，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADE=∠OBD，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF=AE：DF，
∴DE：BF=AE：DE，
∴DE²=BF•AE；
（3）解：∵∠A=∠C，
∴cosA=cosC=

2

3

，
在Rt△CDF中，cosC=

CF

DC

=

2

3

，
设CF=2x，则DC=3x，
∴DF=

DC2-CF2

=

5

x，
而DF=3

5

，
∴

5

x=3

5

，解得x=3，
∴DC=9，
在Rt△CBD中，cosC=

DC

BC

=

2

3

，
∴BC=

3

2

×9=

27

2

，
即⊙O的直径为

27

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义．