【题目】如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B(3,b)两点.
(1)求反比例函数的表达式
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标
(3)求△PAB的面积.
【答案】(1)反比例函数的表达式y=,(2)点P坐标(
,0), (3)S△PAB= 1.5.
【解析】(1)把点A(1,a)代入一次函数中可得到A点坐标,再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式;(2)作点D关于x轴的对称点D,连接AD交x轴于点P,此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标,再由待定系数法求出直线AD的解析式,即可得到点P的坐标;(3)由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.
解:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,
得a=﹣1+4,
解得a=3,
∴A(1,3),
点A(1,3)代入反比例函数y=,
得k=3,
∴反比例函数的表达式y=,
(2)把B(3,b)代入y=得,b=1
∴点B坐标(3,1);
作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,
∴D(3,﹣1),
设直线AD的解析式为y=mx+n,
把A,D两点代入得, ,解得m=﹣2,n=5,
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5,
令y=0,得x=,
∴点P坐标(,0),
(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣
×2×
=2﹣
=1.5.
点晴:本题是一道一次函数与反比例函数的综合题,并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式,再通过函数解析式反过来求坐标,为接下来求面积做好铺垫.
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【题目】某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本,两个月内从每件产品250元降低到每件160元,则平均每月降低的百分率为( )
A.10%B.5%C.15%D.20%
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【题目】在坐标平面内,已知点A(2,-3),那么点A关于x轴的对称点A'的坐标为_________,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_______.
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【题目】如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;
(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).
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【题目】小明和小红两人周末去爬山,小红先出发,中间休息了一段时间,然后按休息前的进度继续前进,最后比小明迟到达山顶.设他们俩从山脚出发后所用的时间t(分钟)与所走的路程S(米)之间的函数关系如图所示:
(1)根据图象小明登山的速度为米/分,小红的登山速度为米/分.
(2)求出BC段图象的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)小明到达山顶后,小红还有多少米到山顶?
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