Question

过点（4，3）的二次函数的顶点坐标是（2，-1），M、N是抛物线与x轴的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线y=x+3与二次函数交于A、B两点，P是二次函数上任意一点，是否能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形？如果存在，求出点K的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式y=a（x-2）²-1，然后把点（4，3）代入求出a的值，即可得解；
（2）根据直线与抛物线的方程求得点A、B的坐标．然后根据平行四边形的对边平行且相等的性质知，AK∥BP，AK=BP．所以根据“点A坐标为（0，3），点K的横坐标为2，点B的横坐标为5”求得点P的横坐标是3，则由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的纵坐标是0；最后根据点P的纵坐标来求点K的纵坐标．

解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标（2，-1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1（a≠0），
∵抛物线经过点（4，3），
∴a（4-2）²-1=3，
解得a=1，
所以，该抛物线解析式为y=（x-2）²-1或y=x²-4x+3；

（2）能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边．
理由如下：
根据题意，得

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得，

x=0 y=3

或

x=5 y=8

，
则点A（0，3），B（5，8）．
假设四边形KAPB为平行四边形．
则AK∥BP，AK=BP，
∵点A坐标为（0，3），点K的横坐标为2，点B的横坐标为5，
∴点P的横坐标为5-2=3，点P的纵坐标y=3²-4×3+3=0，点K的纵坐标为8+3=11，
∴K（2，11）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点坐标问题，根据顶点坐标，利用顶点式解析式求解更加简便．