Question

（2009•武汉模拟）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为    ．

Answer 1

【答案】分析：利用等积法，得出△ABE和四边形EMON的面积相等，再有相似得BE：EM=4：1，所以△ABM面积为2.5，进而求出k，求出函数解析式即可．
解答：解：方法一：∵OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，
∴AO•NO=AB•AM，
∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2，
∵MG∥AB
∴，
∴=，
∴=，
∴S_△AEM=，
∴△ABM面积为2.5，
∴矩形ABCO面积为：4×2.5=10，
∵反比例函数图象位于第2象限，则xy=-10，
那么经过B的双曲线的解析式就是y=-．

方法二：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F
设EF=h，OM=a，
那么由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a
△AON中，MG∥ON，AM=OM，∴MG=ON=a，
∵MG∥AB
∴
∴BE=4EM
∵EF⊥AB
∴EF∥AM
∴．
∴FE=AM，即h=
∵S_△ABM=4a×a÷2=2a²
S_△AON=2a×2a÷2=2a²
∴S_△ABM=S_△AON
∴S_△AEB=S_{四边形EMON}=2
S_△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2
ah=1，又有h=，a=（长度为正数）
∴OA=，OC=2
因此B的坐标为（-2，）
那么经过B的双曲线的解析式就是y=-．
点评：本题中要注意辅助线的作法和相似三角形的性质的应用．