Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．

⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形?
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

Answer 1

．

试题分析：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易证：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y与x的关系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
试题解析：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情况①：当AP=AD时，即x=2．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x²=4²+（x﹣2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x²+x﹣4；
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴，
∴y=，
当y=a时，
（8﹣x）（x﹣2）=a²
x²﹣10x+（16+a²）=0，
∴△=100﹣4（16+a²），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．