Question

（2013•泰州一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=3x+9与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-

1

4

x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点B，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒

3 10

5

个单位长度的速度向点A运动，点P、Q、N同时出发、同时停止，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状；
（3）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，求当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由；
（4）在点P、Q、N运动的过程中，是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=3x+9求出点A、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出点B的坐标，然后求出AB、BC的长度，即可得到△ABC是等腰三角形；
（3）连接OM，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，从而得到∠OMB=90°，所以∠PMO+∠PMB=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠POM+∠OBM=90°，再根据切线长定理可得PO=PM，根据等边对等角的性质可得∠PMO=∠POM，然后求出∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边的性质可得PB=PM，从而得到PO=PB，然后求出AP的长度，再根据点P的速度求解即可；
（4）先根据勾股定理列式求出AC的长度，再根据点Q、N的速度求出CQ、CN的长度，根据∠BAC=∠BCA≠90°，分①∠CNQ=90°时，△CNQ与△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解；②∠CQN=90°时，△CNQ与△ACO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解．

解答：解：（1）直线y=3x+9，令x=0，则y=9，
令y=0，则3x+9=0，解得x=-3，
所以，点A（-3，0），C（0，9），
把点A、C的坐标代入抛物线得，

- 1 4 ×9-3b+c=0 c=9

，
解得

b= 9 4 c=9

．
所以，抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

9

4

x+9；

（2）令y=0，则-

1

4

x²+

9

4

x+9=0，
整理得，x²-9x-36=0，
解得x₁=-3，x₂=12，
所以，点B的坐标为（12，0），
所以，AB=12-（-3）=12+3=15，
根据勾股定理，BC=

122+92

=15，
所以，AB=BC，
因此，△ABC等腰三角形；

（3）当t=3s时，PM与⊙O′相切．
理由如下：如图，连接OM，∵OC是⊙O′的直径，
∴∠OMC=90°，
∴∠OMB=180°-90°=90°，
∴∠PMO+∠PMB=90°，
∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，
∴OP是⊙O′的切线，
∵PM与⊙O′相切，
∴PO=PM，
∴∠PMO=∠POM，
在Rt△OBM中，∠POM+∠OBM=90°，
∴∠PMB=∠OBM，
∴PB=PM，
∴PO=PB=

1

2

OB=

1

2

×12=6，
∴AP=OA+OP=3+6=9，
∵点P的速度是每秒3个单位长度，
∴t=9÷3=3s；

（4）存在t=

5

3

或

25

6

．
理由如下：根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

32+92

=3

10

，
∵点Q的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒

3 10

5

个单位长度，
∴CQ=BC-BQ=15-3t，CQ₁=

3 10

5

t，
根据（2）AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA≠90°，
∴∠CNQ=90°，∠CQN=90°两种情况讨论，
①∠CNQ=90°时，∵∠BAC=∠BCA，∠AOC=∠CNQ=90°，
∴△CNQ∽△AOC，
∴

CN

OA

=

CQ

AC

，
即

3 10 5 t

3

=

15-3t

3 10

，
解得t=

5

3

，
②∠CQN=90°时，∵∠BAC=∠BCA，∠AOC=∠CQN=90°，
∴△CNQ∽△ACO，
∴

CN

AC

=

CQ

OA

，
即

3 10 5 t

3 10

=

15-3t

3

，
解得t=

25

6

．
综上所述，存在t=

5

3

或

25

6

，使△NCQ为直角三角形．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定，切线长定理，相似三角形的判定与性质，（4）要分两种情况讨论．