Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为s，周长的一半为l．
（1）填写表：

三边a、b、c	l-a	l-b	s
3、4、5	3	2	6
5、12、13
8、15、17

（2）观察表，令m=l-a，n=l-b，探究m、n与s之间的关系，并对你的结论给予证明．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积及周长的计算方法求得图中未知数据即可；
（2）根据上题求得的数据猜想三者之间的关系并利用三角形的面积的计算方法证明即可．

解答：解：（1）填表如下：

三边a、b、c	l-a	l-b	s
3、4、5	3	2	6
5、12、13	10	3	30
8、15、17	12	5	60

（2）m、n与s之间有如下关系：s=mn．
证明：在△ABC中，∠C=90°，s=

1

2

ab．
m=l-a=

b+c-a

2

，
n=l-b=

a+c-b

2

，
∴mn=

(b+c-a)(a+c-b)

4

，
即mn=

c2-(a-b)2

4

=

c2-(a2+b2) +2ab

4

，
又a²+b²=c²，
∴mn=

2ab

4

，
∴s=mn．

点评：本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是根据题目提供的信息猜想得到三者之间的关系．