Question

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一动点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，
（1）若CF=3，CE=4，求AP的长．
（2）若AB=8，直接写出EF的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）设正方形ABCD的边长为a，作PF延长线交AD于Q，易证四边形DEPQ为正方形，根据线段之间的数量关系可求出a的值，进而求出AQ的长，利用勾股定理即可求出AP的长；
（2）连结PC，易证△ABP≌△CBP，利用全等三角形的性质可得AP=PC，再证明四边形PECF是矩形，由矩形的性质对角线相等可得PC=EF，所以EF的最小值即为AP的值，问题的解．

解答：解：（1）设正方形ABCD的边长为a，
作PF延长线交AD于Q，则四边形DEPQ为正方形，
∴PQ=DQ=3，
∵PQ=FQ-PF，
即a-4=3，
∴a=7，
即 AD=7，
∴AQ=AD-DQ=4，
∴AP=

32+42

=5
（2）连结PC，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠BCD=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
又∵BP=BP，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PFC=∠PEC=∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC=FE，
∴EF=AP=5，
故答案为：5．

点评：本题考查了正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．