如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A．(1)求抛物线的表达式,(2)点E是线段BC上的一个动点.过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F.当点E运动到什么位置时.四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△PCD是以CD为腰的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标；
（3）可设出P点坐标，从而可表示出PC、PD的长，由条件可得PC=CD或PD=CD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标．

解答解：
（1）抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（-1，0），C（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），则F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
则EF=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∴S_△BFC=$\frac{1}{2}$EF×4=2EF=-（m-2）²+4=-m²+4m，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
∴BD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形CDBF}=S_△BFC+S_△BCD=-m²+4m+$\frac{5}{2}$=-（m-2）²+$\frac{13}{2}$，
∵-1＜0，
∴当m=2时，S_{四边形CDBF}有最大值，最大值为$\frac{13}{2}$，此时E点坐标为（2，1）；
（3）由题意可设P点坐标为（$\frac{3}{2}$，t），
∵D（$\frac{3}{2}$，0），C（0，2），
∴CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，PD=|t|，PC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PC=CD，
①当PD=CD时，则有|t|=$\frac{5}{2}$，解得t=±$\frac{5}{2}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
②当PC=CD时，则有$\frac{5}{2}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，解得t=0或t=4，当t=0时，点P与点D重合，舍去，
∴t=4，此时点P坐标为（$\frac{3}{2}$，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，4）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用E点坐标表示出四边形CDBF的面积是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PD、PC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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