Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，且对角线交于点O，连接OC．已知AC=4，OC=5

2

，则另一条直角边BC的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF-MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．

解答：解：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，

∠AMO=∠OFB=90° ∠OAM=∠BOF OA=OB

，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=4，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=5

2

，
∴根据勾股定理得：CF²+OF²=OC²，
解得：CF=OF=5，
∴FB=OM=OF-FM=5-4=1，
则BC=CF+BF=5+1=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．