精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2011•成华区二模)如图,已知半径为R的⊙O1的直径AB和弦CD交于点M,点A为
CD
的中点.半径为r的⊙O2是过点A、C、M的圆,设点A到CD的距离为d.
(1)求证:r2=
1
2
Rd

(2)连接BD,若AC=5,O1M=
7
6
,求BD的长;
(3)过点O1作EF∥AC,交CD于点E,交过点B的切线于点F.连接AF,交CD于点G,求证:MG=CG.
分析:(1)根据垂径定理可得AB⊥CD,再根据相交弦定理可得CM2=AM•BM,根据勾股定理可得CM2=AC2-AM2,然后整理即可得证;
(2)用R、d表示出O1M,然后联立关于R、d的二元二次方程消掉R,求解得到d的值,再利用勾股定理列式求出CM,然后根据△ACM和△DBM相似,利用相似三角形对应边成比例列出求解即可;
(3)根据切线定义可得BF⊥AB,得到BF∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠BFE=∠CEF,再根据EF∥AC利用两直线平行,内错角相等可得∠CEF=∠C,从而得到∠C=∠BFE,求出△ACM和△O1FB相似,根据相似三角形对应边成比例可得
AM
O1B
=
CM
BF
,再根据△AGM和△ABF相似,利用相似三角形对应边成比例可得
AM
AB
=
MG
BF
,然后整理即可得证.
解答:(1)证明:∵直径AB和弦CD交于点M,点A为
CD
的中点,
∴AB⊥CD,
∴CM2=AM•BM,
即CM2=d(2R-d),
在Rt△ACM中,CM2=AC2-AM2=(2r)2-d2
∴d(2R-d)=(2r)2-d2
整理得,r2=
1
2
Rd;

(2)解:O1M=AO1-AM=R-d=
7
6

∴R=d+
7
6

∵AC=5,
∴r2=
1
2
Rd=(
5
2
2=
25
4

∴Rd=
25
2

∴(d+
7
6
)d=
25
2

整理得,6d2+7d-75=0,
解得d1=3,d2=-
25
6
(舍去),
在Rt△ACM中,DM=CM=
AC2-AM2
=
52-32
=4,
∵∠ABD=∠ACD,∠AMC=∠DMB=90°,
∴△ACM∽△DBM,
AM
DM
=
AC
BD

3
4
=
5
BD

解得BD=
20
3


(3)证明:∵BF是⊙O1的切线,
∴BF⊥AB,
又∵AB⊥D,
∴BF∥CD,
∴∠BFE=∠CEF,
∵EF∥AC,
∴∠CEF=∠C,
∴∠C=∠BFE,
又∵∠AMC=∠ABF=90°,
∴△ACM∽△O1FB,
AM
O1B
=
CM
BF

d
R
=
CM
BF

∵BF∥CD,
∴△AGM∽△ABF,
AM
AB
=
MG
BF

d
2R
=
MG
BF

∴CM=2MG,
∴MG=CG.
点评:本题是圆的综合题型,主要利用了垂径定理,相交弦定理,勾股定理,以及相似三角形的判定与性质,在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,(1)利用两种方法表示出CM2是解题的关键,(2)难点在于联立两个方程消掉R求出d的值,(3)两次利用三角形相似求出d、R的关系是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•成华区二模)小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上(如图),已知∠2=35°,则∠1的度数为(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•成华区二模)下列说法正确的是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•成华区二模)如图,已知点A是双曲线y=
k
x
上一点,AB⊥x轴于点B.若S△AOB=1,则一次函数y=kx-k+3的图象不经过(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•成华区二模)下列命题中,假命题的是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案