Question

【题目】如图，点 P 是∠AOB 内部一定点

（1）若∠AOB＝50°，作点 P 关于 OA 的对称点 P1，作点 P 关于 OB 的对称点 P2，连 OP1、OP2，则∠P1OP2＝___.

（2）若∠AOB＝α，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上移动，当△PCD 的周长最小时，则∠CPD＝___（用 α 的代数式表示）.

Answer 1

【答案】100° 180°-2α

【解析】

（1）根据对称性证明∠P1OP2=2∠AOB，即可解决问题；
（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．利用（1）中结论，根据对称性以及三角形内角和定理即可解决问题；

（1）如图，

由对称性可知：∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠BOP2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=100°，
故答案为100°．
（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．

根据对称性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．
∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α．
故答案为180°-2α．