Question

在分母小于15的最简分数中，求不等于

2

5

但与

2

5

最接近的那个分数．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：

分析：设所求的最简分数是

m

n

，（m，n）=1，0＜m＜n，n＜15，根据

m

n

≠

2

5

且m、n是正整数，可得出|5m-2n|≥1，分别讨论|5m-2n|=1，|5m-2n|＞1的情况，然后确定符合题意的m、n的值．

解答：解：设所求的最简分数是

m

n

，（m，n）=1，0＜m＜n，n＜15，
则|

m

n

-

2

5

|=

|5m-2n|

5n

，
∵

m

n

≠

2

5

，且m、n是正整数，
∴|5m-2n|≥1，
①当|5m-2n|=1时，
有5m-2n=1（

m

n

＞

2

5

）或5m-2n=-1（

m

n

＜

2

5

），
∴m=

2n+1

5

或m=

2n-1

5

，
由m为整数，知（2n+1）或（2n-1）是5的倍数，
要使|

m

n

-

2

5

|最小，则n应最大，
∴n最大取13，对应的m=5，
此时|

m

n

-

2

5

|=

1

65

；
②当|5m-2n|＞1时，
∵n＜15，m、n是整数，
∴|

m

n

-

2

5

|=

|5m-2n|

5n

≥

2

5×14

=

1

35

＞

1

65

；
综上可得：|

m

n

-

2

5

|的最小值是

1

65

，此时对应的m=5，n=13．
故

5

13

是不等于

2

5

但与

2

5

最接近的那个分数．

点评：本题考查了有理数无理数的概念与运算，难度较大，突破口比较隐蔽，注意抓住“最接近”、“分母小于15”这几个关键词语的含义．