Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{2}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，若点P为OA上一动点，则PC+PD值最小时OP的长为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 作点C关于x轴的对称点C′，连接CC′交x轴于点E，连接C′D交x轴于点P′，此时P′C+P′D值最小，过点C′作CF⊥y轴于点F，利用三角形中位线可求出点C、D的坐标，由对称可求出点C′、F的坐标，再利用三角形的中位线可求出OP′的值，此题得解．

解答 解：作点C关于x轴的对称点C′，连接CC′交x轴于点E，连接C′D交x轴于点P′，此时P′C+P′D值最小，过点C′作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵直线y=$\frac{2}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴点A（-6，0），点B（0，4）．
∵AE∥BO，点C为AB的中点，
∴CE为△ABO的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，CE=$\frac{1}{2}$OB，
∴点C（-3，2）．
同理可得出点D（0，2）．
∵点C、C′关于x轴对称，
∴点C′（-3，-2），F（0，-2），
∴点O为DF的中点，
∴OP′为△DC′F的中位线，
∴OP′=$\frac{1}{2}$C′F=$\frac{3}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线以及轴对称图形中最短路线问题，找出PC+PD值最小时点P的位置是解题的关键．