Question

如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（-2，2），B（6，6）代入，得，解得，
∴y=x+3，令x=0，
∴E（0，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+b′x+c，
将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，
∴y=x²-x

（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，
联立，得x²-6x-4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，
解得m=-，x=3，y=，即N（3，）；
此时△BON面积=×6×6-（+6）×3-××3=；

（4）过点A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=，NS=，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠NOB，
∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，），
∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，），B（6，6），
∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，
∴OP=，BP=，
设P点坐标为（4x，x），
∴16x²+x²=（）²，
解得x=，4x=15，
∵P、P′关于直线y=x轴对称，
∴P点坐标为（15，）或（，15）．
分析：（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，可求E点坐标；
（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；
（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；
（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6，OA=2，AN=，ON=，这样可求出OP=，BP=，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．