[题目]如图.△ABC的两条高线BD.CE相交于点F.已知∠ABC=60°.AB=10.CF=EF.则△ABC的面积为( ) A.20 B.25 C.30 D.40 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC的面积为（）
A.20
B.25
C.30
D.40

【答案】A
【解析】解：连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x， ∵BD、CE是高，
∴AG⊥BC，
∵∠ABC=60°，∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
在Rt△AEF中，∵EF=x，∠EAF=30°，∴AE= x，
在Rt△BCE中，∵EC=2x，∠CBE=60°，∴BE= x．
∴ x+ x=10，
∴x=2 ，
∴CE=4 ，
∴S△ABC= ABCE= ×10×4 =20 ．
故选A．

连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，因为BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°可得AE= x，在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得BE= x．可得 x+ x=10，解方程即可解决问题．

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证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

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