Question

我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-

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100

(x-60)2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

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100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

Answer 1

分析：（1）由可获得利润P=-

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100

（x-60）²+41（万元），即可知当x=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q=[-

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100

（a-60）²+41]+[-

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100

a²+

294

5

a+160]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；
（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．

解答：解：（1）∵每投入x万元，可获得利润P=-

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100

（x-60）²+41（万元），
∴当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，
∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）；

（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，
所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[-

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100

（50-60）²+41]=80（万元），
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，
∴Q=-

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[100-（100-a）]²+

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5

[100-（100-a）]+160=-

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a²+

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a+160，
∴y=P+Q=[-

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（a-60）²+41]+[-

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100

a²+

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a+160]=-a²+60a+165=-（a-30）²+1065，
∴当a=30时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（万元）．

（3）有很大的实施价值．
规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．

点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．