Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k=0
（1）求证：无论k取任何值，方程总有实数根．
（2）若x=2是方程x²-（k+1）x+k=0的一个根，求k的值以及方程的另一个根．

Answer 1

解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4×1×k=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴无论k取任何值，方程总有实数根．

（2）∵x=2是方程x²-（k+1）x+k=0的一个根，
∴2²-（k+1）×2+k=0，
解得：k=2，
设方程的另一个根为x₁，则x•x₁=k，
2×x₁=2，
x₁=1，
则方程的另一个根为1．
分析：（1）根据根的判别式得出△=（k-1）²≥0，从而证出无论k取任何值，方程总有实数根．
（2）先把x=2代入原方程，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．