Question

已知点P（a，4）在抛物线y=

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x²+c和直线y=-2x上．
（1）求a，c的值；
（2）把此二次函数的图象沿着y轴方向平移，经过怎样的平移才能使所得的图象与直线y=-2x有且只有一个公共点？请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）首先将点P代入直线的解析式求得a的值，然后代入二次函数的解析式即可求得c值；
（2）设抛物线yy=

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x²+3向上平移k个单位长度后得y-k=y=

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x²+3则得方程-2x-k=y=

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x²+3，得到△=8²-4（4k+12）=16-16k，然后令16-16k=0，解得：k=1，从而确定平移的方向和单位．

解答：解：（1）∵点P（a，4）在直线y=-2x上，
∴4=-2a，
即：a=-2，
又∵点P（-2，4）在抛物线y=

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x²+c上，
∴4=

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×（-2）²+c，
即：c=3；

（2）把已知的二次函数的图象沿着y轴方向向上平移1个单位长度，所得的图象与直线y=-2x有且只有一个公共点．
理由：由（1）知，抛物线y=

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x²+3和直线y=-2x有两个公共点，
因此设抛物线yy=

1

4

x²+3向上平移k个单位长度后得y-k=y=

1

4

x²+3，
则得方程-2x-k=y=

1

4

x²+3，
即：x²+8x+4k+12=0，
△=8²-4（4k+12）=16-16k，
令16-16k=0，解得：k=1，
故把已知的二次函数的图象沿着y轴方向向上平移1个单位长度，所得的图象与直线y=-2x有且只有一个公共点．

点评：本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象与几何变换的知识，解题的关键是确定二次函数的解析式，难度中等．