Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2 ．
（1）求A1、A2的坐标；
（2）证明：O为线段A1A2的中点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，

∴ ，

解得 ，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）

（2）证明：设经过O、A1的直线解析式为y=kx，

易得：yOA1=﹣ x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直线OA1上，

∴A1、O、A2在同一直线上，

由勾股定理知OA1=OA2= = ，

∴O为线段A1A2的中点

【解析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；（2）设经过OA1的直线解析式为y=kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A2在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2 ， 最后根据线段中点的定义证明即可．