Question

4．矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG=FH．

Answer 1

分析 （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF，
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，
∵AB∥CD，
∴∠EDG=∠FBH，
在△DEG和△BFH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BHF}\\{∠EDG=∠FBH}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键．