Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=$\frac{1}{x}$和y=$\frac{9}{x}$在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB=BC，②AC=BC，即可解题．

解答 解：∵点B是y=kx和y=$\frac{9}{x}$的交点，y=kx=$\frac{9}{x}$，
解得：x=$\frac{3}{\sqrt{k}}$，y=3$\sqrt{k}$，
∴点B坐标为（$\frac{3}{\sqrt{k}}$，3$\sqrt{k}$），
点A是y=kx和y=$\frac{1}{x}$的交点，y=kx=$\frac{1}{x}$，
解得：x=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，y=$\sqrt{k}$，
∴点A坐标为（$\frac{1}{\sqrt{k}}$，$\sqrt{k}$），
∵BD⊥x轴，
∴点C横坐标为$\frac{3}{\sqrt{k}}$，纵坐标为$\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{k}}}$=$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
∴点C坐标为（$\frac{3}{\sqrt{k}}$，$\frac{\sqrt{k}}{3}$），
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB=BC，则$\sqrt{{（\frac{3}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k}}）}^{2}{+（3\sqrt{k}-\sqrt{k}）}^{2}}$=3$\sqrt{k}$-$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
解得：k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
②AC=BC，则$\sqrt{{（\frac{3}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k}}）}^{2}{+（\sqrt{k}-\frac{\sqrt{k}}{3}）}^{2}}$=3$\sqrt{k}$-$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
故答案为 k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．