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    如图，在等腰梯形AB∥⊥CD中，BC∥AD，BC＝8，AD＝20，AB＝DC＝10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP＝x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．

    　　

    (1)分别求出当点Q位于AB、BC上时，S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

    (2)当线段PQ将梯形AB∥⊥CD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？

    (3)当(2)的条件下，设线段PQ与梯形AB∥⊥CD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，一定能平分梯形的面积？(只要求说出条件，不需要证明)

    答案：
    解析：

    　　(1)如图甲，当点Q位于AB上时，PQ的右侧图形为等腰上△AQP，底边AP=x，过Q、B点分别作QM⊥AD，BN⊥∠AD，垂足分别为M、N，又过B作BG∥DC交AD于G点，则有AG=12，BG=DC=AB=10，在Rt△ABN中，AB=10，AN=6，∴BN=8，∵△AQP为等腰三角形，∴AM=AP－x，又QM⊥AD，QM⊥AD，BN⊥AD，∴QM∥BN，∴，∴QM=＝x，∴S=AP·QM=x·x=x2，∴当点Q在AB上时，S=x2，自变量x的取值范围是0≤x≤12．当点Q在BC上时，PQ右侧四边形ABQP为梯形，则S=(QB＋AP)·BN=[(x－12)＋x]×8=8x－48，自变量x的取值范围是12≤x≤20

    　　(2)梯形ABCD的面积S0＝＋(BC＋AD)·BN=(8＋20)×8=112，易知点Q在AB移动时，△AQP的面积最在值为AG·BN=×12×8=48＜，故线段PQ等分梯形ABCD的面积时点Q只可能在BC上，∴8x－48==56，∴x=13

    基　(3)如图乙，当PQ等分梯形ABCD面积时，可知S四边形QCDP=S四边形ABQP，又EF是梯形的中应线，∴OE·BN=OF·BN，即OE=OF，探究发现：当直线l经过梯形中位线的中点且与较短的底(上底)相交时，其一定平分梯形的面积．


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    如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．
    （1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
    （2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存精英家教网在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

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    10、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD的中点，求证：BE=CE．

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