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如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了t秒.
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存精英家教网在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)可通过构建直角三角形来求解.过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,很显然AE=BF,四边形DQPE和QCFP是矩形,那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE,BF的长,然后可用时间表示出CQ,DQ,AP的长,由于DQ=EP,因此可用AP=AE+EP求出时间的值.
(2)先要求出梯形的面积,那么求出高就是关键,在直角三角形AED中,可用勾股定理求出高,也就求出了四边形QPBC的面积,由于Q在CD和DA上运动,因此要分Q在CD上,和Q在AD上两种情况进行讨论.
当Q在CD上时,可用时间t表示出CQ和BP的长,然后根据计算出的高和四边形CQPB的面积,来求出时间t的值,要注意当Q在CD上时,t应该在0-2秒内,可用这个取值范围来判定求出的值是否符合题意.
当Q在AD上时,四边形QPBC是个不规则的四边形,那么根据他的面积是梯形的一半,那么四边形QPBC的面积就应该等于三角形CDQ和AQP的面积和,那么就需要作出这两个三角形的高以便求出面积,过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H.求出QH和QG就是解题的关键.
可以用时间t先表示出CQ,AP,然后根据CD+DQ=CQ进而表示出QD和AQ,那么我们可在直角三角形AQG中根据∠A的度数求出QG,然后根据求出的梯形的高得出QH的值,这样就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面积,也就是四边形QPBC的面积,根据求出的四边形的面积可得出t的值,要注意Q在AD上时,取值范围是2-4秒,因此可根据这个取值范围判定求出的t是否符合题意.
解答:精英家教网解:(1)过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,如图1.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴四边形CDEF是矩形,
∴DE=CF.
又∵AD=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF.
又CD=2cm,AB=8cm,
∴EF=CD=2cm,
AE=BF=
1
2
(8-2)=3(cm).
若四边形APQD是直角梯形,则四边形DEPQ为矩形.
∵CQ=t,
∴DQ=EP=2-t,
∵AP=AE+EP,
∴2t=3+2-t,
∴t=
5
3


(2)在Rt△ADE中,DE=
36-9
=3
3
(cm),精英家教网
S梯形ABCD=
1
2
(8+2)×3
3
=15
3
(cm2).
当S四边形PBCQ=
1
2
S梯形ABCD时,
①如图2,若点Q在CD上,即0≤t<2,
则CQ=t,BP=8-2t.
S四边形PBCQ=
1
2
(t+8-2t)×3
3
=
15
3
2

解之得t=3(舍去).精英家教网
②如图3,若点Q在AD上,即2≤t<4.
过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H.
由图1知,sin∠ADE=AE:AD=
1
2

∴∠ADE=30°,
则∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=
3
(8-t)
2

在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=
3
(t-2)
2

由题意知,S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=
1
2
×2t×
3
(8-t)
2
+
1
2
×2×
3
(t-2)
2
=
15
3
2

即t2-9t+17=0,解之得t1=
9+
13
2
(不合题意,舍去),t2=
9-
13
2

答:存在t=
9-
13
2
,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半.
点评:本题要根据Q点的位置来判断四边形CQPB的形状,进而选择合适的解题方法.本题中通过辅助线作出梯形的高,构建出直角三角形是解题的关键.
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