Question

如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，S_EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．
（3）x为何值时，S_EFGH达到最大值．

Answer 1

分析：（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，

EH

AD

=

BE

AB

、

EF

BC

=

AE

AB

，代入数据求解即可，
（2）设AK=x，则EH=16-x，再根据

EF

BC

=

AK

AD

得出EF的表达式，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式，
（3）对二次函数表达式进行配方即可求最值．

解答：解：（1）设边长为xcm，
∵矩形为正方形，
∴EH∥AD，EF∥BC，
根据平行线的性质可以得出：

EH

AD

=

BE

AB

、

EF

BC

=

AE

AB

，
由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即

x

24

=

BE

AB

，

x

16

=

AE

AB

，
∵BE+AE=AB，
∴

x

24

+

x

16

=

BE

AB

+

AE

AB

=1，
解得x=

48

5

，
∴AK=

72

5

，
∴当AK=

72

5

时，矩形EFGH为正方形；

（2）设AK=x，EH=24-x，
∵EHGF为矩形，
∴

EF

BC

=

AK

AD

，即EF=

2

3

x，
∴S_EFGH=y=

2

3

x•（24-x）=-

2

3

x²+16x（0＜x＜24）；

（3）y=-

2

3

x²+16x
配方得：y=-

2

3

（x-12）²+96，
∴当x=12时，S_EFGH有最大值96．

点评：本题主要考查了平行的性质、矩形的性质、二次函数的最值，综合性强，难度较大．