Question

已知A、B、C、D点的坐标如图所示，E在线段AC的延长线上，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标是________．

Answer 1

（4，-3）或（，-）
分析：根据点A、B、C、D的坐标求出AB、BC、AC、AD的长，然后分两种情况：①当∠ADE=90°时，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出DE的长度，再结合图形即可求出点E的坐标；②当∠AED=90°时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出AE的长度，过E作EF⊥AD于点F，解直角三角形求出AF、EF，然后结合图形即可求出点E的坐标．
解答：由图可知，A（-5，3）、B（1，3）、C（1，-1）、D（4，3），
∴AB=1-（-5）=6，BC=3-（-1）=4，
AC===2，
AD=4-（-5）=9，
①如图1，当∠ADE=90°时，∵△ABC∽△ADE，
∴=，
即=，
解得DE=6，
∴点E的纵坐标为3-6=-3，
∴点E（4，-3）；
②如图2，当∠AED=90°时，∵△ABC∽△AED，
∴=，
即=，
解得AE=，
过点E作EF⊥AD于点F，
则AF=AE•cos∠BAC=×=，
EF=AE•sin∠BAC=×=，
∵-5=，-3=，
∴点E（，-），
综上所述，点E的坐标为（4，-3）或（，-）．
故答案为：（4，-3）或（，-）．
点评：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，注意要分情况讨论．