Question

已知菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，点M在射线AB上，BM=1，∠DMN=60°，射线MN交射线BC于N，则BN=

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：本题需要分两种情况讨论，①点M在线段AB上，②点M在线段AB的延长线上，根据平行线的性质及解直角三角形的知识，结合相似三角形的性质，分别解出即可．

解答：解：①当点M在线段AB上时，

过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，延长DM、CB交于一点P，
则AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2

3

，
在Rt△DQM中，DM=

(2 3 )2+12

=

13

，
∵BC∥AD，
∴

BP

AD

=

PM

DM

=

BM

AM

=

1

3

，
解得：BP=

4

3

，PM=

13

3

，
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴

PN

PD

=

PM

PB

，即

4 3 +BN

13 + 13 3

=

13 3

4 3

，
解得：BN=3；

②当点M在AB延长线上时，

过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，
则DQ=2

3

，BD=4，DM=

DQ2+QM2

=

21

，
∵BP∥AD，
∴

MP

PD

=

BM

AB

=

1

4

，

BP

AD

=

MB

AM

=

1

5

，
∴BP=

4

5

，
又∵MP+PD=DM=

21

，
∴MP=

21

5

，PD=

4 21

5

，
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴

PM

PB

=

PN

PD

，即

21 5

4 5

=

BN- 4 5

4 21 5

，
解得：BN=5．
综上可得BN=3或5．
故答案为：3或5．

点评：本题考查了菱形的性质，涉及了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，注意构造相似三角形，利用对应边长比例的知识求解．