Question

如图1，以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分．
①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上；
②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线．

Answer 1

解：BC⊥MN．
证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD≌△HMF，
∴AC=HF=CD，
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，
∴∠HGF=∠DCM，∠GHF=∠IGC，
∠BIC=∠IGC+∠DCM，
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，
∴△ABC≌△FBH，
∵四边形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，
∴∠HBF=∠ABC，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BC⊥BH，
∵N是BC中点，M是HC中点，
∴MN∥BH，
∴BC⊥MN．
分析：延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，延长CD，与BF相交于I，根据MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，可以证明∠BAC=∠HFB，即可证明△ABC≌△FBH，于是证明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知BC⊥BH，又因为N是BC中点，M是HC中点，可得MN‖BH，于是证明出BC⊥MN．
点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，此题比较麻烦．