Question

如图，A₁A₂⊥A₂A₃，A₂A₃⊥A₃A₄，…，设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，若A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，A₅A₆=a₃，则a₂=

 

，a_n=

 

（用含n的代数式表示）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：结合已知条件，根据直角三角形的性质，即可得出A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

，由A₁A₂∥A₃A₄∥A₅A₆，可以推出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，得AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆，即可推出a₂的长度，然后推出a_n的关于你的表达式；

解答：②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

．
又∵A₂A₃⊥A₃A₄，
∴A₁A₂∥A₃A₄．
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
∴a_n=（

2

+1）^n-1．
故答案是：1+

2

；（

2

+1）^n-1．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系．