Question

已知二次函数y=a（x-h）²+k的图象经过（1，0），（0，3）两点，对称轴为x=-1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设这个函数的图象与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，顶点为D，求点A、点B、点C、点D的坐标；
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据函数图象过点（1，0）和（0，3）且对称轴为x=-1，可得出关于a、h、k的方程组，联立求解即可．
（2）由二次函数的顶点是求得顶点D的坐标，把顶点式化成一般式，得出与y轴的交点C的坐标，令y=0，得到关于x的方程，解方程即可求得函数与x轴的交点A、B的坐标．
（3）根据点的坐标求得两个三角形的面积和一个梯形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．

解答：解：由题意得，二次函数的图象对称轴为x=-1且图象过点（1，0），（0，3），
故可得：

a(1-h)2+k=0 ah2+k=3 h=-1

，
解得：

a=-1 k=4 h=-1

．
即可得二次函数的解析式为：y=-（x+1）²+4．
（2）由y=-（x+1）²+4可知顶点D（-1，4），
由y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3可知与y轴的交点为C（0，3），
令y=0，则-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
所以这个函数的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）．
（3）∵A（-3，0）、B（1，0），C（0，3），D（-1，4），
∴S=

1

2

×1×3+

1

2

（3+4）×1+

1

2

（3-1）×4=9．
故四边形ABCD的面积为9．

点评：本题考查了待定系数法，抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等，（3）利用分割法求四边形的面积是本题的关键．