Question

15．观察下列三个特殊的等式：1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+100×101=343400；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 （1）根据1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20可以得出，连续两个自然数的乘积的和等于后面一个算式的两个数字再与最后一个数字加1相乘积的$\frac{1}{3}$，据此可计算1×2+2×3+…+100×101；
（2）由此得出一般性规律1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）即可解决问题．

解答 解：（1）∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=$\frac{1}{3}$×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=$\frac{1}{3}$×100×101×102=343400；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（ n+2）．
故答案为：（1）343400；（2）$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

点评 此题主要考查了数字的规律性问题，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点．